Für die Funktion $f(x,y)=x^3-3xy^2$ mit dem Gradientenfeld

$$\vec{\textbf{F}}=\nabla f = \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right) = (3x^2-3y^2, -6xy)$$

ist die Rotation

$$\text{rot} \vec{\textbf{F}}= \frac{\partial{F_y}}{\partial x} - \frac{\partial{F_x}}{\partial y} = -6y- -6y=0$$

Das ist kein Zufall, die Rotation eines Gradientenfeldes ist immer 0, da bei einer differenzierbaren Funktion alle gemischten Ableitungen gleich sind..

Beachte: Die Rotation eines Vektorfeldes ist i. Allg. wieder ein Vektorfeld - die Anzahl der Komponenten der Vektoren dieses Feldes ist gleich der Anzahl von Paaren unterschiedlicher Variablen. Bei 2 Variablen ist die Rotation also ein skalares Feld. Man kann dies auch darstellen, indem man die Werte der Funktion durch Farben codiert.