Erkläre mir Vektorfelder.

Gerne! Hier eine grundlegende Erklärung zu Vektorfeldern:

Was ist ein Vektorfeld?

Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt eines Raumes (z.B. der Ebene oder des dreidimensionalen Raumes) einen Vektor zu. Man kann sich das so vorstellen, dass an jedem Punkt im Raum ein Pfeil liegt, der eine Richtung und eine Länge hat.

Mathematisch ist ein Vektorfeld $\mathbf{F}$ eine Funktion, die jedem Punkt $\mathbf{x}$ im Raum einen Vektor $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ zuordnet:

$\mathbf{F} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad \mathbf{x} \mapsto \mathbf{F}(\mathbf{x})$

Beispiele für $n$ sind:

• $n=2$: Vektorfeld in der Ebene (z.B. Windrichtung und -stärke in der Luft)
• $n=3$: Vektorfeld im Raum (z.B. Magnetfeld, Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit)

Beispiele:

1. Elektrisches Feld: Jeder Punkt im Raum hat ein elektrisches Feld, das als Vektor dargestellt wird, der Richtung und Stärke der Kraft auf eine Ladung angibt.

2. Geschwindigkeitsfeld einer Strömung: In jedem Punkt eines Flusses gibt das Vektorfeld die Geschwindigkeit der Wasserbewegung an.

Visualisierung

Man stellt ein Vektorfeld oft durch Pfeile dar, wobei die Länge des Pfeils die Vektorlänge (Betrag) angibt und die Pfeilrichtung die Richtung des Vektors.

Mathematische Darstellung in 2D

Ein Vektorfeld in der Ebene kann man schreiben als:

$\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$

wobei $P$ und $Q$ Funktionen sind, die die x- bzw. y-Komponente des Vektors angeben.

Beispiele in der Visualisierung

Möchtest du, dass ich ein einfaches Beispiel eines Vektorfeldes in 2D visualisiere? Zum Beispiel

$\mathbf{F}(x,y) = (-y, x)$

Das ist ein Drehfeld (zeigt eine Rotation um den Ursprung).

Quellen zum Nachlesen

• Stewart, James (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (2012). Vector Calculus. W. H. Freeman and Company.
• Wolfram MathWorld: Vector Field (öffnet in neuem Tab)

Möchtest du, dass ich dir das Beispiel mit einem Python- oder Sage-Skript visualisiere?