Erkläre mir Rotation eines Vektorfeldes. Verwende nur Formeln, die sich mit KaTeX darstellen lassen.

Gerne! Die Rotation (auch als curl bezeichnet) eines Vektorfeldes beschreibt, wie stark und in welcher Richtung das Feld um einen Punkt „rotiert“.

Vektorfeld

Betrachten wir ein Vektorfeld $\mathbf{F}$ im $\mathbb{R}^3$ mit Komponenten

$\mathbf{F}(x,y,z) = (F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))$

Definition der Rotation (Curl)

Die Rotation von $\mathbf{F}$ ist ein Vektorfeld, definiert als

$\operatorname{curl} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}$

Das bedeutet im Detail

$\operatorname{curl} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \quad \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right).$

Interpretation

• Die Rotation ist ein Vektor, der lokal die Richtung und Stärke der Rotation des Feldes anzeigt.
• Ist $\operatorname{curl} \mathbf{F}(x_0,y_0,z_0) = \mathbf{0}$, dann hat das Feld an diesem Punkt keine lokale „Rotation“ oder „Wirbel“.

Wenn du möchtest, kann ich dir auch eine grafische Veranschaulichung in Python oder Sage zeigen!