Visualisiere ein Beispiel für einen nicht konstanten Laplace-Operator einer Funktion mit Python.

Ich habe ein Beispiel in Python erstellt, das eine Funktion $f(x,y) = \sin(x) \cdot \cos(y)$ und deren Laplace-Operator numerisch berechnet und visualisiert.

Das Skript erzeugt zwei 3D-Flächenplots: Links die Funktion selbst, rechts den Laplace-Operator.

Du kannst es so ausführen oder hier als Datei herunterladen:
Python-Skript ausführen

Wenn du möchtest, kann ich dir das Skript auch näher erklären oder anpassen.

Erkläre mir den Zusammenhang zwischen der Funktion und dem Laplace-Operator an diesem Beispiel - wie zeigt sich der Zusammenhang in den Grafiken?

Gerne! Ich erkläre dir den Zusammenhang zwischen der Funktion $f(x,y) = \sin(x) \cdot \cos(y)$ und ihrem Laplace-Operator $\Delta f$ am Beispiel der Visualisierungen.

1. Was ist der Laplace-Operator?

Der Laplace-Operator $\Delta$ ist definiert als

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Er kombiniert also die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion in beiden Raumrichtungen. Physikalisch betrachtet misst der Laplace-Operator die Krümmung oder Konzentration der Funktion. Stellen, wo die Funktion stark gekrümmt oder gewölbt ist, zeigen sich als große positive oder negative Werte des Laplace-Operators.

2. Zusammenhang in unserem Beispiel

Für $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$ gilt:

• $f$ ist eine Produktfunktion aus zwei periodischen Funktionen in $x$ und $y$.
• Die Funktion weist wellenartige Struktur mit positiven und negativen Hochpunkten (Wellenbergen und -tälern) auf.

Der Laplace-Operator bei dieser Funktion ist

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2 \sin(x) \cos(y)$

Dies kann man leicht durch zweimaliges Ableiten zeigen (z. B. in Analysis lernen).

3. Interpretation der Grafiken

• Linkes Plot (Funktion $f$):

• Wellenmuster mit Hügeln (positive Werte, z.B. $\sin(x)>0, \cos(y)>0$) und Tälern (negative Werte, z.B. $\sin(x)<0, \cos(y)<0$).

• Über das Gitter von $x, y$ laufen periodisch positiv und negativ Werte.

• Rechtes Plot (Laplace $\Delta f$):

• Dieselbe Form wie die Funktion, aber mit umgekehrtem Vorzeichen und anderer Amplitude (hier $-2$ mal die Funktion).

• Überall dort, wo $f$ einen Hochpunkt hat (positive “Hügel”), ist $\Delta f$ negativ (zeigt konkave Krümmung).

• Und umgekehrt, wo $f$ ein Tal (Minimum) hat, ist $\Delta f$ positiv (zeigt konvexe Krümmung).

• Das signalisiert, dass der Laplace-Operator die “Krümmung” der Oberfläche misst.

4. Fazit

Der Laplace-Operator «kehrt» bei diesem Beispiel die Wellenform gewissermaßen um:

• Positive Gipfel in $f$ weisen negative Werte im Laplace-Operator auf.
• Negative Täler in $f$ weisen positive Werte im Laplace-Operator auf.

Das ist typisch für Wellenfunktionen und harmonische Funktionen, bei denen der Laplace-Operator mit der Funktion selbst proportional ist (hier sogar exakt $\Delta f = -2 f$).

Somit zeigt das Beispiel typisch graphisch und numerisch, wie der Laplace-Operator Krümmungen und Inflexionspunkte einer Funktion beschreibt.

Wenn du magst, kann ich dir auch noch genauer zeigen, wie die Ableitungen berechnet wurden oder andere Funktionen visualisieren.