Beispiel: Kurvenintegral eines Vektorfeldes

Betrachten wir das Kurvenintegral eines Vektorfeldes $\mathbf{F}(x,y) = (y, x)$ entlang der Kurve $\gamma$ auf dem Kreisbogen des Einheitskreises von $(1,0)$ nach $(0,1)$.

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Definition der Kurve:

$$\gamma(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0, \frac{\pi}{2}]$$

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Vektorfeld:

$$\mathbf{F}(x,y) = (y, x)$$

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Kurvenintegral:

$$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt$$

Berechne zuerst: $$\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$$ $$\mathbf{F}(\gamma(t)) = (\sin t, \cos t)$$

Skalarprodukt: $$\mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = \sin t \cdot (-\sin t) + \cos t \cdot \cos t = -\sin^2 t + \cos^2 t$$

Integral: $$\int_0^{\pi/2} (\cos^2 t - \sin^2 t) dt$$

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Berechnung

import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
f = sp.cos(t)**2 - sp.sin(t)**2
integral = sp.integrate(f, (t, 0, sp.pi/2))
integral

Visualisierung der Kurve und des Vektorfeldes

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t_vals = np.linspace(0, np.pi/2, 100)
x_vals = np.cos(t_vals)
y_vals = np.sin(t_vals)

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-0.2,1.2,20), np.linspace(-0.2,1.2,20))
U = Y
V = X

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'r-', label='Kurve $\\gamma$')
plt.quiver(X, Y, U, V, color='b', alpha=0.5)
plt.scatter([1,0], [0,1], color='red')  # Start- und Endpunkt
plt.title('Kurve und Vektorfeld $\\mathbf{F}(x,y) = (y,x)$')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

Das Integral ist $$\int_0^{\pi/2} (\cos^2 t - \sin^2 t) dt = \int_0^{\pi/2} \cos(2t) dt,$$ weil gilt: $\cos^2 t - \sin^2 t = \cos(2t)$.

Nun: $$\int_0^{\pi/2} \cos(2t) dt = \left.\frac{\sin(2t)}{2}\right|_0^{\pi/2} = \frac{\sin(\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0.$$

Erklärung:
Die positive und negative Arbeit der Vektorfeld-Komponenten heben sich entlang dieses Kurvenabschnitts genau auf, so dass sich kein Netto-Beitrag ergibt. Alternativ bedeutet es, dass das Feld "keine Arbeit" entlang dieses Weges verrichtet.

In der Visualisierung sieht man:

• Die Kurve verläuft vom Punkt $(1,0)$ nach $(0,1)$ auf dem Kreisbogen.
• Das Vektorfeld $\mathbf{F}(x,y) = (y, x)$ zeigt entlang der Kurve Vektoren, die teils parallel, teils antiparallel zur Kurvenrichtung sind.
• Durch die Mischung positiver und negativer Beiträge (Richtung der Vektoren relativ zum Weg) heben sich die Arbeitselemente auf.
• Insgesamt entsteht daher keine Nettoarbeit, was das Integral $0$ erklärt.

Kurz: Die entgegengesetzte Ausrichtung der Feldvektoren entlang der Kurve ist in der Grafik erkennbar.

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