Beispiel: Kurvenintegral eines Skalarfeldes

Ein einfaches Beispiel ist das Kurvenintegral des Skalarfeldes $f(x,y) = x + y$ entlang der Kurve $C$ von $A=(0,0)$ nach $B=(1,1)$ auf der Geraden $y = x$.

Berechnung:

$$\int_C f(x,y) , ds = \int_0^1 (x + x) \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } , dt$$

Parametrisierung: $\gamma(t) = (t,t), \quad t \in [0,1]$

$$f(\gamma(t)) = t + t = 2t$$

$$\left|\gamma'(t)\right| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Integral:

$$\int_0^1 2t \cdot \sqrt{2} , dt = \sqrt{2} \int_0^1 2t , dt = \sqrt{2} \cdot [t^2]_0^1 = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \neq 0$$

Das Kurvenintegral ist also $$\sqrt{2}$$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter
t = np.linspace(0, 1, 100)
r = np.vstack((t, t))  # Parametrisierung r(t) = (t, t)

# Skalarfeld f(x,y) = x + y
f = r[0] + r[1]

# Plot
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(r[0], r[1], label='Kurve C: y=x von (0,0) nach (1,1)', color='blue')

# Farbgebung der Punkte entlang der Kurve nach Feldwert f
sc = plt.scatter(r[0], r[1], c=f, cmap='viridis', label='Werte von f(x,y)', s=50)
plt.colorbar(sc, label='$f(x,y) = x+y$')

plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.title('Visualisierung des Skalarfeldes $f(x,y) = x+y$ auf Kurve $C$')
plt.axis('equal')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()