Kurvenintegrale

Ein Kurvenintegral ist eine Verallgemeinerung des bestimmten Integrals, bei dem eine Funktion entlang einer Kurve im Raum integriert wird.

Genauer: Für eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ und eine Parameterdarstellung der Kurve $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, definiert man das Kurvenintegral als $$\int_\gamma f(\mathbf{x}), ds = \int_a^b f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| dt,$$ wobei $ds$ das Längenmaß auf der Kurve ist.

$|\gamma'(t)|$ ist die Länge (Norm) von $\gamma'(t)$, dem Vektor der Ableitungen der Funktionen, die die Kurve im Raum definieren, nach $t$. Mit dieser Definition ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig von der Art der Parametrisierung der Kurve.

Für Vektorfelder $\mathbf{F}$ bezeichnet das Kurvenintegral häufig $$\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_a^b \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt,$$ was z.B. Arbeit beschreibt, die entlang eines Weges verrichtet wird. Dabei ist das Produkt innerhalb des Integrals das Skalarprodukt des Vektors der Komponenten der Werte von $\mathbf{F}$ bei $\gamma(t)$ mit dem Vektor der Ableitungen der Komponenten des Arguments - also $\gamma'(t)$. Das ist nur möglich, wenn der Wertebereich der Funktion $\mathbf{F}$ dieselbe Dimension hat wie der Raum der Argumente: $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.

Kurz: Das Kurvenintegral integriert Funktionen bzw. Vektorfelder entlang eines Pfades im Raum.

Kann man Kurvenintegrale auch für Vektorfelder $\mathbb{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ definieren, wenn $m \neq n$ ist?